L'octave

On a sûrement remarqué que le diapason d'une corde lorsque il est divisé en 2, donne une note située à l'octave supérieure. Prenons la corde de LA : sa fréquence est de 440 hz (elle vibre 440 fois en une seconde).
Jouons ensuite le LA aigü situé sur la douzième frette, la douzième frette est au milieu de la corde (comme par hasard) et la note obtenue est de 880 hz, l'onde sonore aura donc deux fois moins de chemin à parcourir et va donc vibrer 880 fois en une seconde.
Sur une corde de uke low G on peut obtenir, à la deuxième case, un LA grave il jouera la note de 220 hz.
Chaque fois qu'on divise la fréquence par 2 on obtient la note à l'octave inférieure. Quand on la multiplie par 2 on obtient l'octave supérieure.

Qu'arrive-t-il si on divise le diapason autrement ?

Prenons la corde de DO plus facile à concevoir, et jouons la septième frette, nous obtenons un SOL, si l'octave de DO est au milieu de la corde, le SOL sera au tiers de la corde (et accessoirement le FA sera au quart du diapason).
Si DO est la note de base, FA est la sous-dominante, SOL la dominante et le DO aigu est à l'octave.
On a donc la sous-dominante au quart, la dominante au tiers et l'octave à la moitié du diapason.
Rappelons les bases : la dominante c'est la quinte (la cinquième note de la gamme).
si je multiplie la fréquence de DO par 3/2 j'obtiens un SOL.
si je multiplie la fréquence de SOL par 3/2 j'obtiens la quinte du SOL c'est à dire le Ré.
Qu'arrive-t-il si on se livre douze fois à cet exercice ?

En rouge la quinte du loup (de MI# à DO)
en rosé le comma Pythagoricien (de D0 à SI#).

De quinte en quinte

la fréquence de DO la plus grave est de 16,351 Hz.
mulitipliée par 3/2, elle donne :
24,5265 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de SOL en gamme tempérée est de 24,99 Hz)

la fréquence de SOL pur (24,5265 Hz) mulitipliée par 3/2, elle donne :
un Ré pur de 36,78975 Hz.
(la fréquence de RÉ en gamme tempérée est de 36,708Hz)

(la fréquence de RÉ et de 36,78975 Hz.
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un LA 55,184625Hz en quinte pure.
(la fréquence de LA en gamme tempérée est de 55,000 Hz)

la fréquence de LA de 55,184625 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un MI 82,7769375 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de Mi en gamme tempérée est de 82,406 Hz)

la fréquence de MI de 82,7769375 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un SI 124,16540625 Hz en quinte pure.
(la fréquence de Si en gamme tempérée est de 123,470 Hz)

la fréquence de SI de 124,16540625 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un FA# 186,248109375 Hz en quinte pure.
(la fréquence de FA# en gamme tempérée est de 184,997 Hz)

la fréquence de FA# de 186,248109375 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un DO# 279,3721640625 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de DO# en gamme tempérée est de 277,182 Hz)

la fréquence de DO# de 279,3721640625 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un SOL# 419,05824609375 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de SOL# en gamme tempérée est de 415,304 Hz)

la fréquence de SOL# de 419,05824609375 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un RÉ# 628,587369140625 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de RÉ# en gamme tempérée est de 622,253 Hz)

la fréquence de RÉ# de 628,587369140625 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un LA# 942,8810537109375 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de LA# en gamme tempérée est de 932,327 Hz)

la fréquence de LA# de 942,8810537109375 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un MI# 1414,32158056640625 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de FA qui le remplace en gamme tempérée est de 1396,912 Hz)

la fréquence de Mi# de 1414,32158056640625 Hz
mulitipliée par 3/2, elle donne :
un SI# 2121,482370849609375 Hz. en quinte pure.
(la fréquence de DO qui la remplace en gamme tempérée est de 2093,004 Hz).

Douze quintes successives nous amène quasiment 7 octaves plus haut, mais c'est dans ce "quasiment", qu'on trouve "la quinte du loup".
La quinte du loup va Du MI# au Do naturel et la partie de la quinte pure qui dépasse (du Do au SI#) c'est le comma. C'est cette différence de résultat de 28,478370849609375 Hz, entre une succession de 12 quintes et une progression sur 7 octaves.
Ce reliquat de fréquence c'est le fameux comma Pythagoricien que des générations de musiciens ont cherché à répartir harmonieusement tout le long de la gamme en jouant avec les demi tons. Ces dispositions de demi-tons s'appellent le tempérament. Le terme "clavier bien temperé" vient de là et nous rend bien service aujourd'hui. Le Mi# est remplacé par le Fa le SI# est remplacé par le Do. Ils subsistent encore en musique ancienne sur les instruments non temperés dont on peut moduler le son.